乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测数学(问卷)(卷面分值:150分;考试时间:120分钟)注意事项:1.本试卷分为问卷(4页)和答卷(4页),答案务必书写在答卷(或答题卡)的指定位量上.2.答题前,先将答卷密封线内的项目(或答题卡中的相关信息)填写清楚.第I卷(选择题 共58分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.若复数,则()A. B. C.1 D.2.命题“,”的否定是()A., B.,C., D.,3.已知向量,,则()A. B.C. D.4.已知数列满足,,则()A.3 B.2或 C.3或 D.25.的展开式中的系数为()A. B. C.20 D.306.设抛物线的焦点为,过点且倾斜角为的直线与交于A,B两点,以为直径的圆与准线切于点,则的方程为()A. B. C. D.7.在中,,,,则下列各式一定成立的是()A. B.C. D.8.在满足,的实数对中,使得成立的正整数的最大位为()A.15 B.16 C.22 D.23二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.已知函数的部分图像如图所示,则()A.在上单调递增B.在上有4个零点C.D.将的图祭向右平移个单位,可得的图急10.若函数的定义域为,且,,则()A. B.为偶函数C.的图象关于点对称 D.11.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由棱长为40cm的正方体截去八个一样的四面体得到的,则()A.该几何体的顶点数为12B.该几何体的棱数为24C.该几何体的表面积为D.该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项第II卷(非选择题共92分)三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.已知集合,,则的子集个数为_________;13.在工业生产中轴承的直径服从,购买者要求直径为,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在之内,则至少为_________;(若,则)14.设双曲线的左、右焦点分别为,,A是右支上一点,满足,直线交双曲线于另一点,且,则双曲线离心率的一个值为_________.四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)设等比数列的前项和为,已知,.(I)求的通项公式;(II)设,求的前项和.16.(15分)我们平时常用的视力表叫做对数视力表,视力呈现为4.8,4.9,5.0,5.1.视力为正常视力.否则就是近视.某地区对学生视力与学习成结进行调查,随机抽查了100名近视学生的成绩,得到频率分布直方图:(I)能否据此判断学生的学习成绩与视力状况相关?(不需说明理由)(II)估计该地区近视学生学习成缆的第85百分位数;(精确到0.1)(III)已知该地区学生的近视率为54%,学生成绩的优秀率为36%(成绩分为优秀),从该地区学生中任选一人,若此人的成绩为优秀,求此人近视的概率.(以样本中的频率作为相应的概率)17.(15分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,,点E,F分别是棱,的中点.(I)求直线与平面所成角的正弦值;(II)在截面内是否存在点.使平面,并说明理由.18.(17分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,过点的两条直线,分别与椭圆交于另一点A,B,且直线,,的斜率满足.(I)求椭圆的方程;(II)证明直线过定点;(III)椭圆C的焦点分别为,,求凸四边形面积的取值范围.19.(17分)已知函数.(I)证明曲线在处的切线过原点;(II)讨论的单调性;(III)若,求实数的取值范围.乌鲁木齐地区2024年高三年级第一次质量监测数学(答案)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.1~4ACDC 5~8ABBD二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.ABC 10.BCD 11.ABD三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共计15分.12.4 13.0.1 14.或5四、解答题:本大题共5小题,共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)(I)由题设得,故,因为数列为等比数列,所以数列,所以;(II)由(I)得,所以.16.(15分)(I)不能据此判断;(II)由频率分布直方图可知,成绩90分以下所占比例为,因此第85百分位数一定位于内,由,可以估计该地区近视学生的学习成绩的第85百分位数约为95.8;(III)设“该地区近视学生”,“该地区优秀学生”,由题设得,,,所以.17.(15分)(I)以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设,则,,,,,,,,,,设平面的法向量,则,即,可取,因为,所以与平面所成角的正弦值为;(II)假设截面内存在点满足条件,设,,,,所以,,,因为平面,所以,所以,解得,这与假设矛盾矛盾,所以不存在点,使平面.18.(17分)(I)由题设得,解得,所以的方程为;(II)由题意可设,设,,由,整理得,.由韦达定理得,,由得,即,整理得,因为,得,解得或,时,直线过定点舍去;时,满足,所以直线过定点.(III)由(II)得直线,所以,由,整理得,,由题意得,因为,所以,所以,令,,所以,在上单调递减,所以的范围是.19.(17分)(I)由题设得,所以,又因为,所以切点为,斜率,所以切线方程为,即,恒过原点.(II)由(I)得,①时,,当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减;②时,,时,,,在上单调递增,时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;③时,,在上单调递增,在上单调递减;(III)当时,,即,下面证明当时,,,即证,令,因为,所以,只需证,即证,令,,,令,,令,,与在上单调递减,所以在上单调递减,,,所以存在,使得,即,所以,,,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,,,令,时,所以在上单调递增,所以,所以,,所以在上单调递减,,,,,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,综上所述.以上各题的其他解法,限于篇幅,从略,请酌情给分.
2024届新疆乌鲁木齐地区高三第一次质量监测数学试题
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