精品解析：福建省泉州市2024届高三上学期质量监测数学试题（二）（解析版）

泉州市2024届高中毕业班质量监测（二）高三数学本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸､试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的，黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整､笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠､不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，再由交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，解得：，所以，所以.故选：D.2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算和坐标对应方式即可做出选择.【详解】，对应复平面内对应的点，因为，所以位于第二象限.故选：B3.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同角三角函数关系和范围即可解出，则得到答案.【详解】因为，则，结合，解得，则，故选：C.4.已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件知当截面的周长最大时，截面为圆柱的轴截面，结合已知条件求出圆柱的半径，利用圆柱的体积公式即可求解.【详解】当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面.设圆柱的底面半径为，则因为过母线作截面，截面的最大周长等于8，所以，解得.所以该圆柱的体积为.故选：B.5.函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的数据即可得出答案.【详解】由函数的数据可知，函数，偶函数满足此性质，可排除B，D；当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，可排除C.故选：A.6.若抛物线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是的焦点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出椭圆与抛物线交点坐标，代入椭圆方程并结合离心率定义即可.【详解】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆右焦点为，则根据题意得轴，，则，则，当时，，则，则，代入椭圆方程得，结合，不妨令；解得，则其离心率，故选：C.7.某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于（）A.70 B.140 C.252 D.504【答案】B【解析】【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，所以此时满足题意的选法有，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，所以此时满足题意的选法有，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.故选：B8.已知函数.若函数存在零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对求导，求出的单调性和最值，函数存在零点，即与的图象有交点，即可求出的取值范围.【详解】，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，所以的最大值为，最小值为，故，函数存在零点，即，即与的图象有交点，所以故选：C,二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.抛掷一枚股子，设事件“出现的点数为偶数”，事件“出现的点数为3的倍数”，则（）A.与是互斥事件B.不是必然事件C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用事件的关系，互斥事件与对立事件的定义结合古典概型的概率公式，即可判断求解.【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果，事件A=“出现的点数为偶数”包含2，4，6三种结果，事件B=“出现的点数为3的倍数”包含3，6两种结果，对于A，事件A，B有可能同时发生，故事件A，B不是互斥事件，故A错误；对于B，事件包含2,3,4,6四种结果，所以不是必然事件，故B正确；对于C，事件包含6一种结果，所以，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD.10.已知定义在上的函数满足，当时，，当时，，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】求出函数的周期，根据周期性计算函数值再判断即可.【详解】因为，则，所以的周期为2，对A，，因为，令，则，显然，对B，因为，则，则，故B正确；对C，，，则，故C错误；对D，，，则，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线的准线为，焦点为，过的直线与交于两点，则（）A.的方程为B.与以线段为直径的圆相切C.当线段中点的纵坐标为2时，D.当的倾斜角等于时，【答案】ABD【解析】【分析】根据抛物线方程求出准线方程判断A，根据抛物线定义及圆与直线相切的判定判断B，利用抛物线的定义求弦长可判断CD.【详解】由抛物线的方程可知，所以准线方程为，故A正确；设中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则由梯形中位线可得，再由抛物线定义可得，，所以，即圆心到准线的距离等于半径，所以与以线段为直径的圆相切，故B正确；设，因为中点的纵坐标为2，所以，由抛物线的定义可知，故C错误；当的倾斜角等于时，由于，所以直线的方程为，联立，消去，得，所以，由抛物线定义可得，故D正确.故选：ABD12.在空间直角坐标系中，，，，，在球的球面上，则（）A.平面B.球表面积等于C.点到平面的距离等于D.平面与平面的夹角的正弦值等于【答案】AC【解析】【分析】由球心F在平面ABC上的投影位置及D点求球心F的坐标和球半径，可得E点坐标，利用空间向量计算点到平面的距离和平面与平面的夹角的正弦值.【详解】平面ABC的一个法向量，，则，又因为平面ABC，所以平面ABC，A正确；因为，，，则，球心F在平面上的投影点即外接圆圆心，设，因，则，得，即，球半径，球F表面积，B错误；由，，得，，，，设平面ACE的一个法向量，，所以，取，，点到平面的距离等于，C正确；同理可得平面的一个法向量，平面与平面的夹角的余弦值等于，正弦值等于，D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：注意到A，B，C三点共面，且平面ABC即为平面，所以易得球心F在平面ABC上的投影，将空间问题平面化.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平行四边形中，，则__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量加减的坐标运算和向量模的坐标运算即可得到答案.【详解】因为四边形为平行四边形，则，，则，故答案为：10.14.数列中，，则__________.【答案】15【解析】【分析】根据递推关系求解即可.【详解】由，可得，，.故答案为：1515.已知直线，圆被所截得到的两段弧的长度之比为，则圆的方程可以为__________.（只需写出一个满足条件的方程即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径的关系，再假设圆心位于原点，代入计算即可.【详解】若圆被所截得到的两段弧的长度之比为，则劣弧所对圆心角为，设圆的半径为，则圆心到直线的距离为，不妨使得圆心为坐标原点，设圆的方程为，则，解得，则此时圆的方程为，故答案为：（答案不唯一.）16.若，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】令，根据，可转化为，利用求出，再检验即可得解.【详解】令，则定义域为，且，由题意，，，，又在上可导，所以为函数的极值点，，，即，当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，成立.综上，时的取值范围为.故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.等差数列和等比数列中，.（1）求的公差；（2）记数列的前项和为，若，求.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式即可求解；（2）根据（1）的结论及等差等比数列的通项公式，利用分组求和及等差数列的前项和公式即可求解.【小问1详解】设等比数列的公比为，由题意得，整理，得，消去，得，解得或.【小问2详解】由（1）得或.因为，所以，故.从而，.18.教育部印发的《国家学生体质健康标准》，要求学校每学年开展全校学生的体质健康测试工作.某中学为提高学生的体质健康水平，组织了“坐位体前屈”专项训练.现随机抽取高一男生和高二男生共60人进行“坐位体前屈”专项测试.高一男生成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩在的男生有4人.高二男生成绩（单位：）如下：10212.86.46.614.38.316.815.99.717.518.618.319.423.019.720.524.920.525.117.5（1）估计高一男生成绩的平均数和高二男生成绩的第40百分位数；（2）《国家学生体质健康标准》规定，高一男生“坐位体前屈”成绩良好等级线为，高二男生为.已知该校高一年男生有600人，高二年男生有500人，完成下列列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该校男生“坐位体前屈”成绩优良等级与年级有关？等级年级良好及以上良好以下合计高一高二合计附：，其中.0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1）15，16.35（2）详见解析【解析】【分析】（1）完善频率分布直方图，根据频率分布直方图求高一男生成绩平均值，根据所给数据按百分位数定义求高二男生成绩第40百分位数；（2）列出列联表，计算，根据所给小概率值表判断即可.【小问1详解】依题意得，抽取高二男生20人，所以抽取高一男生40人.因为高一男生成绩在[5,10)的男生有4人，所以，解得.由，解得.由样本估计总体，可估计高一男生成绩的平均数.由，可知样本数据的第40百分位数是第8项和第9项数据的均值，高二男生“坐位体前屈”成绩在[5,15)有7人，[15,20)有8人,所以第40百分位数在[15,20)中，故.由样本估计总体，可估计高二男生成绩的第40百分位数为16.35.【小问2详解】根据样本，知高一男生成绩良好及以上占，良好以下占，高二男生成绩良好及以上占，良好以下占，由样本估计总体，可得列联表如下：良好及以上良好以下合计高一300300600高二300200500合计6005001100零假设为：该校男生“坐位体前屈”成绩等级与年级之间无关.根据列联表中的数据，得根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“坐位体前屈”成绩等级与年级有关，此推断犯错误的概率不大于.19.如图，两个棱长均等于2的正四棱锥拼接得到多面体.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量共线可得，再由线面平行的判定定理得证；（2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角求出平面夹角的余弦，再转化为正弦即可.【小问1详解】连结，交于点，连结，由正四棱锥性质可知平面，平面，所以三点共线，又四边形是正方形，可得两两垂直，且交于点.以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，由，在中，，则，从而，故，又，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由