广东省大湾区2023-2024学年高三上学期联合模拟考试（一）数学试卷

★启用前注意保密2024届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学本卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．21．设集合Ax|x4x30,Bx|2x4，则AB（）A．x|2x3B．x|x1或x2C．x|3x4D．x|1x42．复数z满足zz2i，则z（）A．1iB．1iC．1iD．1i3．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（）A．10种B．20种C．25种D．32种4．已知向量a2,1,b1,1，则a在b上的投影向量为（）1111A．，B．，C．1,1D．1,122225．已知数列an为等差数列，Sn为其前n项和，2a5a6a3，则S7（）A．28B．14C．7D．2ex6．已知fx为奇函数，则a（）eax1A．1B．1C．2D．2x2y27．已知双曲线C:1a1的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A，B两点若满足AB3a2a21的直线l有且仅有1条，则双曲线C的离心率为（）学科网（北京）股份有限公司1477A．B．C．2D．或23228．已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2，ABBC,ABBC2，过AB，BB1的中点E，F作平面与平面AAC11C垂直，则平面截该三棱柱所得截面的周长为（）A．226B．226C．326D．3226二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．x9．下列图象中，函数fx的图象可能是（）xaA．B．C．D．10．为了解居民对社区环保工作的满意度，居委会从社区全体居民中随机抽取若干居民进行评分调查（满分为100分）．根据调查数据制成如图所示的频率分布直方图，已知评分在80,100内的居民有180人．则（）A．a0.025B．调查的总人数为4000C．从频率分布直方图中，可以估计本次评分的中位数大于平均数学科网（北京）股份有限公司D．根据以上抽样调查数据，可以认为该社区居民对社区环保工作的满意度符合“评分低于65分的居民不超过全体居民的20%”的规定11．已知直线l:2kx2ykp0与抛物线C:y22px(p0)相交于A，B两点，点M1,1是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则（）A．p2B．k2C．△MAB的面积为55D．AB5x12．已知函数fx，则（）lnxA．f3f23B．当x1时，fxx499．存在x1，当xx时，100C00fxx121D．若直线ykxke与yfx的图象有三个公共点，则0k24三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．4π13．若角的终边在第四象限，且cos，则tan_________．542π14．某圆锥的侧面展开图是面积为3π，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为_________．38215．知数列an的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，令fxxai，则fx取最小值时，xi1__________．43xy16．已知Px,y为函数yx2图象上一动点，则的最大值为_________．3x2y2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）57已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b5,c4,sinB．16（1）求cosA；（2）若BD2DC，求AD的长．18．（12分）已知数列an和bn满足：a11,anbnan1,anbn（为常数，且1）．（1）证明：数列bn为等比数列；学科网（北京）股份有限公司（2）若n3和n4时，数列an的前n项和Sn取得最大值，求Sn．19．（12分）有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4个白球．现按照如下规则摸球．从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2个球，摸球的结果是一红一白．（1）你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；（2）如果你根据（1）中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确的次数为X，求X的数学期望（实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时，即为判断正确）．20．（12分）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的体积为6，截面ACC1A1的面积为6．（1）求点B到平面ACC1A1的距离；（2）若ABAD2,BAD60，AA16，求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值．21．（12分）1已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1．2（1）求椭圆C的标准方程，（2）若动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数xs1fx（x0,x1，s为常数）密切相关，请解决下列问题．ex1（1）当1s2时，讨论fx的单调性；（2）当s2时；①证明fx有唯一极值点；②记fx的一极值点为gs，讨论gs的单调性，并证明你的结论．学科网（北京）股份有限公司