江苏省扬州中学2023-2024学年高三上学期1月阶段性检测数学试题

江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学2024.1.15一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.(2＋eq\r(,3)i)(2－eq\r(,3)i)＝A.5B.－1C.1D.73.已知向量，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.4.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（）A. B. C. D.6.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（）A. B. C. D.7．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2 C. D.48.已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（）A.B.C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B.若事件M，N的概率满足，且M，N相互独立，则C.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为10.已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.若点的坐标为，则B.面积的最小值为C.直线过定点D.11.已知，若，则（）A.B.C.D.12.如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（）A.存在点满足平面平面B.当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为C.若，则最小值为D.若，则点的轨迹长为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则__________.14.数列满足，且，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.①；②函数在上单调递增.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则当时，=____________；内切圆的半径为____________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列前项和为，且满足__________.①，均有且，②首项，均有；从条件①和②中选一个填到题目条件下划线上（若两个都填，以第一个为准），并回答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）求数列前项和的表达式.18.如图，在四棱锥中，，设分列为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．19.如图，在中，，点P在边BC上，且．（1）若，求PB﹔（2）求面积的最小值．20．已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．（1）求C的方程；（2）当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．杭州亚运会的三个吉祥物是琮琮、宸宸和莲莲，他们分别代表了世界遗产良渚古城遗址、京杭大运河和西湖，分别展现了不屈不挠、坚强刚毅的拼搏精神，海纳百川的时代精神和精致和谐的人文精神。甲同学可采用如下两种方式购买吉祥物，方式一：以盲盒方式购买，每个盲盒19元，盲盒外观完全相同，内部随机放有琮琮、宸宸和莲莲三款中的一个，只有打开才会知道买到吉祥物的款式，买到每款吉祥物是等可能的。方式二：直接购买吉祥物，每个30元。甲若以方式一购买吉祥物，每次购买一个盲盒并打开。当甲买到的吉祥物首次出现相同款式时，用表示甲购买的次数，求的分布列；为了集齐三款吉祥物，甲计划先一次性购买盲盒，且数量不超过3个，若未集齐再直接购买吉祥物，以所需费用的期望值为决策依据，甲应一次性购买多少个盲盒？22.定义函数．（1）求曲线在处的切线斜率；（2）若对任意恒成立，求k的取值范围；（3）讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．（注：…是自然对数的底数）江苏省扬州中学2024届高三年级阶段性检测数学2024.1.14注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B2.(2＋eq\r(,3)i)(2－eq\r(,3)i)＝A.5B.－1C.1D.7【答案】D3.已知向量，则在上的投影向量为（）A B.C. D.【答案】D4.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C5.已知展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（）A. B. C. D.【答案】B6.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据给定条件，求出线段长及点到平面的距离，再代入公式计算即得.【详解】令点在平面的投影分别为，取的中点，连接，由平面，平面，得，由正，得，平面，则平面，同理平面，由四边形为矩形，得，于是平面，而面，平面，则，显然，有，且都在平面，因此点共线，显然，而平面，平面平面，平面，则，四边形为平行四边形，，由，，得是二面角的平面角，即，则，又，因此，同理，而，则，所以该刍薨的体积为.故选：A7．已知抛物线的焦点为F，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，=（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】由题知，抛物线的准线方程为，，过P作垂直于准线于，连接，由抛物线定义知.由正弦函数知，要使最小值，即最小，即最大，即直线斜率最大，即直线与抛物线相切.设所在的直线方程为：，联立抛物线方程：，整理得：则，解得即，解得，代入得或，再利用焦半径公式得故选：B.8.已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围.【详解】由，则内不存在最值，即，则，，则或，由，则中恒成立，只需且，或；所以的取值范围是.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（）A.数据1，2，3，4，5，6，8，9，11第75百分位数是7B.若事件M，N的概率满足，且M，N相互独立，则C.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断，独立D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为【答案】BCD【解析】【分析】根据百分位数的定义求出第75百分位数，从而判定A；由独立性得到，进而利用对立事件的概率关系判定B；根据，可判定C；根据直线方程斜率为负值，可知相关系数为负值，根据所有点都在直线上，可知相关系数绝对值为1，进而可知相关系数，从而判定D.【详解】对于选项A，9个数据从小到大排列，由于，所以第75百分位数应该是第7个数8，故A错误；对于选项B，由M，N相互独立得：，所以，，故B正确：对于选项C，由，可以认为和独立，故C正确：对于选项D，样本点都在直线，说明是负相关且为线性函数关系，所以相关系数为，故D正确，故选：BCD.10.已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（）A.若点的坐标为，则B.面积的最小值为C.直线过定点D.【答案】ACD【解析】【分析】A选项，利用圆的切线长公式求解判断；B选项，利用时，取最小值求解判断；C选项，设，求得以为直径的圆，与联立，求得直线AB的方程判断；D选项，利用圆的弦长公式求解判断.【详解】A选项，如图，由圆的切线性质及勾股定理可得：，所以A选项正确：B选项，到直线的距离为，而，所以的最小值为，所以三角形面积的最小值为，所以B选项错误：C选项，设，，线段的中点坐标为，所以以为直径的圆的方程为，即，由，两式相减得直线的方程为：，即，由解得，所以直线过定点，C选项正确；D选项，由C选项知，圆心到直线的距离，所以，D选项正确，故选：ACD.11.已知，若，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用同构法判断A；利用A中结论判断B；利用零点存在定理判断的范围，从而利用一次函数与二次函数的性质判断CD.【详解】因为，所以，又其定义域内单调递增，所以其定义域内单调递增，故，故A正确；由A可知，所以，故B正确；因为单调递增，且，根据零点存在定理，有，故C错误；因为，又二次函数的对称轴为1，且在区间上单调递减，所以，故D正确，故选：ABD.12.如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（）A.存在点满足平面平面B.当为线段中点时，三棱锥的外接球体积为C.若，则最小值为D.若，则点的轨迹长为【答案】ABD【解析】【分析】当点位于点时，平面平面，可判断A选项；确定三棱锥的外接球的球心，进而求半径，可判断B选项；当点位于点时，可判断C选项；利用∽，建立适当的平面直角坐标系可得到点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断D选项.【详解】对于A，面面，所以当点位于点时，平面平面，故A正确；对于B，当为线段中点时，与均为直角三角形，且面面，三棱锥的外接球的球心为的中点，外接球的半径，三棱锥的外接球体积为，故B正确；对于C，，点在线段上，当点位于点时，，故C错误；对于D，若，与均为直角三角形，∽，，如图，在正方形中，以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，整理得：，点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，，，在中，，，，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据同角平方和关系可得，进而根据齐次式即可求解.【详解】由可得，故，又，解得或，由于，，故，又，故，因此，故，故答案为：14.数列满足，且，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）5或者31【分析】由条件可得，然后分或讨论，结合等比数列的定义以及其前项和公式，即可得到结果.【详解】因为，即，所以或，若，则数列为常数数列，且，则其前5项和；若，即，且，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则；所以该数列前5项和可能是5或者31.15.请写出一个同时满足下列两个条件的函数：__________.①；②函数在上单调递增.【答案】（答案不唯一，形如均可）【解析】【分析】根据，可设，再根据性质②确定的可能取值.【详解】因为，，所以可设，则.因为函数在上单调递增，所以，所以满足这两个条件，故答案为：（答案不唯一）.16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，右顶点为，过的直线交双曲线的右支于，两点（其中点在第一象限内），设，分别为，的内心，则当时,____________；内切