精品解析:江西省赣州市全南县全南中学2024届高三上学期期中数学试题(解析版)

2023-12-06 · U1 上传 · 22页 · 1.5 M

全南中学2023-2024学年第一学期高中学段期中考试三年级数学一、单选题(每题5分,共40分)1.满足条件的所有集合的个数是()A.32 B.31 C.16 D.15【答案】B【解析】【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可.【详解】由集合满足条件,所以集合至少含元素1,2,将1,2看成一个整体用来表示,则上述集合关系式变成:,则此时集合为集合的真子集,问题转化为求集合的真子集的个数即:,故满足题意的集合有31个.故选:B.2.已知为虚数单位,若复数模为该复数的实部的倍,则A.0 B.-4 C.1或-1 D.1【答案】A【解析】【分析】将复数分母实数化得到模和实部,建立方程可得解.【详解】复数.模为:.根据题意得:,解得.故选:A.3.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出二次不等式的解集,根据q是p的充分不必要条件,得到对应集合的包含关系,从而得到答案.【详解】由得或,设,若q是p的充分不必要条件,则所以a≥1.故选:D.4.设,且,则()A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式,求得,,进而结合对数的运算公式,即可求解.【详解】由,可得,,由换底公式得,,所以,又因为,可得.故选:A.5.已知点为的外心,的外接圆的半径为1,则与的夹角的正弦值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得:,两边同时平方利用数量积运算和已知条件,即可得出结果;【详解】,,,又,,,而,故.故选:A6.已知球O的半径为2,四棱锥的顶点均在球O的球面上,当该四棱锥的体积最大时,其高为()A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件,确定四棱锥体积最大时为正四棱锥,设出底面外接圆半径,求出体积函数式,再利用导数求解作答.【详解】令球O的内接四棱锥为,四边形外接圆半径为,对角线的夹角为,则四边形的面积,当且仅当,即四边形为正方形时取等号,由球的结构特征知,顶点P为直线与球面O的交点,并且球心O在线段上,四棱锥的高最大,如图,,高,因此四棱锥的最大体积关系式为:,令,则,求导得,当时,,当时,,因此函数在上单调递增,在上单调递减,当时,,此时,所以当该四棱锥的体积最大时,其高为.故选:D7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理指出:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上,是其两条对角线,,且为正三角形,则四边形的面积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知和托勒密定理可得,即.再由三角形的面积公式可求得选项.【详解】设,由托勒密定理知,,所以.又因为,,所以四边形的面积为.故选:B.【点睛】本题考查数学文化,数学定理的应用,以及解三角形,属于中档题.8.已知函数,其中,若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设恰有两个零点转化为与的图象恰有两个不同的交点,利用导数研究的单调性,且必过,画出,的大致图象,进而利用导数的几何意义求,的相切时的切线方程并确定此时的斜率,结合函数图象分析要使,有两个不同交点,斜率a的变化范围即可.【详解】由恰有两个零点,即恰有两个根,也就是恰有两个根,进而有函数与的图象恰有两个不同的交点,由,得,∴当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增;由知:必过;函数,的大致图象,如下图示:设与相切于,切线斜率为,则切线方程为,把代入可得:,∴化简得,解得或.当时,切线斜率大于2,又,∴,此时切点坐标为,∴的斜率为1,即时与相切.由函数增长速率,易知:当x无限趋近于时,无限趋近于0且x小于0.∴若函数恰有两个零点,则实数a的取值范围为.故选:B.【点睛】关键点点睛:由函数有两个零点转化为两个函数有两个不同交点问题,进而应用导数研究函数性质并画出草图,根据导数的几何意义,求直线与曲线相切时切线斜率,结合图象判断有两不同交点情况下直线的斜率变化范围.二、多选题(每题5分,共20分)9.函数的部分图象如图所示,则()A.B.图象的一条对称轴方程是C.图象的对称中心是,D.函数是偶函数【答案】BD【解析】【分析】首先根据题意得到,再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.【详解】由函数的图象知:,所以;即,解得,所以,因为,所以,,即,,因为,所以,.对选项A,因为,故A错误.对选项B,,故B正确.对选项C,令,k∈Z,解得,,所以的对称中心是,,故C错误.对选项D,设,则的定义域为R,,所以为偶函数,故D正确.故选:BD10.已知,为定义在上的函数,且对任意的x,y满足:,且,则下面说法正确的是()A.B.C.为奇函数D.若,则3是的一个周期【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法逐项判断即可.【详解】因为对任意的x,y满足:,所以对于,令,则,故正确;令,,则.又,则,故错误;令,则,所以为奇函数,故正确;令,,则,由于,所以,令,则,令,则,两式相加得:,即:,所以,故,所以是的一个周期,所以正确;故选:ACD.11.已知矩形,,将沿对角线进行翻折,得到三棱锥,则在翻折的过程中有下列结论:()A.四棱锥的体积最大值为 B.四棱锥的外接球体积不变C.异面直线与所成角的最大值为 D.与平面所成角的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据翻折过程,结合线面关系,逐项分析判断即可得解.【详解】对A,当平面平面时,点到的距离为即为棱锥高,此时体积最大,故A正确;对B,由,故四棱锥的外接球的直径为,四棱锥外接球体积不变,故B正确;对C,假设直线与所成角的最大值为,此时,而,所以平面,则,而斜边矛盾,故C错误;对D,当平面平面时,与平面所成角为最大,由为矩形,,此时,故D正确.故选:ABD【点睛】本题考查了平面翻折过程中线面的动态变化,考查了空间想象能力和逻辑推理能力,有一定的计算量,属于中档题.本题的关键点有:(1)翻折过程中的线面的动态变化,在变化中找到确定的量;(2)把空间线面关系的性质,用到变化过程中进一步确定变化的量.12.对于给定数列,如果存在实数,使得对任意成立,我们称数列是“线性数列”,数列满足,则()A.等差数列是“线性数列” B.等比数列是“线性数列”C.若是等差数列,则是“线性数列” D.若是等比数列,则是“线性数列”【答案】ABD【解析】【分析】对A,B根据“线性数列”的定义进行判断,C,找特例,代入即可判断;D,结合定义,设出等比数列,代入求的,再结合线性数列的定义,看是否存在实数即可.【详解】对A,数列为等差数列,则,即,满足“线性数列”的定义,A正确;对B,数列为等比数列,则,即,满足“线性数列”的定义,B正确;对C,是等差数列,设,则,若是“线性数列”,则,则应有,故不是“线性数列”,C错误;对D,等比数列,设首项为,公比为,若时,,则,满足“线性数列”的定义;若时,由,得,,累加的,则,经验证当时,满足,则,若是“线性数列”,则存在实数,使得成立,则,,,则,则,则是“线性数列”,D正确.故选:ABD三、填空题(共20分)13.已知等差数列满足,,则的前项的和为__________【答案】78【解析】【分析】利用等差数列性质可计算得,,代入等差数列前项和公式即可求出结果.【详解】由等差数列性质可知,解得;由,可得;则数列的前项的和为.故答案为:14.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率,则_________.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的离心率,根据斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】双曲线的离心率,所以.故答案为:【点睛】此题考查求双曲线的离心率,根据直线的斜率求倾斜角,涉及同角三角函数的基本关系解决三角函数求值的问题.15.四个棱长为1的正方体拼成如图所示长方体,为上表面异于B的8个点,结果有____________个不同的值.【答案】1【解析】【分析】可根据图象得出,然后将转化为,最后根据棱长为及即可得出结果.【详解】由图象可知,,则,因为平面,平面,所以,所以,则,即的不同值的个数为,故答案为:116.已知不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先排除的情况,再通过同构思想得到函数,再分类讨论即可.【详解】若时,时,,舍去.若时,令,,,则在上单调递增,且①若,即时,则不等式(式恒成立;②若,即时,而,令,.当,,则在上单调递增,当,,则在上单调递减,,的取值范围为.故答案为:.【点睛】关键点睛:本题的关键是通过合理变形,再利用函数的单调性得到,再对合理分类讨论即可.四、解答题(共70分)17.在中,是,B,所对应的分边别为,,,且满足.(1)求;(2)若,的面积为,求的周长.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角,结合正弦的二倍角公式变形可得;(2)由面积公式求得,再由余弦定理求出,从而可得周长.【小问1详解】因为,所以由正弦定理得,因为,所以,则,因为,所以,又因为,所以;【小问2详解】因为,所以,又由余弦定理得,,所以,则,所以的周长为:.18.设数列的前项和为,已知,.(1)求数列的通项公式;(2)记,,证明:,.【答案】(1);(2)证明见详解.【解析】【分析】(1)利用与的关系,即可容易求得;(2)由(1)中所得即可求得,利用等比数列前项和公式,以及适度的放缩,即可证明.【详解】(1)因为,则,解得,故当时,,故可得,则,则数列为首项为3公比为的等比数列,故,解得.(2)由(1)中所求可得,当为偶数时,;当为奇数时,,故.即证.【点睛】本题考查利用关系求数列的通项公式,涉及等比数列前项和的求解,以及数列的放缩,属综合中档题.19.如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面为等边三角形且垂直于底面,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)取中点,连接,先证明平面,再由线线垂直证明线面垂直;(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.【小问1详解】如图,取中点,连接,则,因为平面平面,且平面平面,平面所以平面,因为平面,所以,又因为F为CD的中点,所以,又,平面PGB,所以平面,平面,所以,,为的中点,所以,又,平面,平面,所以平面.【小问2详解】不妨设正方形的边长为2,以点为坐标原点,为轴,垂直于的直线为轴,为轴建立空间坐标系,则,,设平面与平面的法向量分别为,夹角为,则不妨设,所以,,所以.20.为积极发展生态低碳农业,某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验,已知该基地引进了营养价值较高A品种黄豆,统计了近几年的产量及市场售价情况(市场售价与产量相互独立),得到了如图①②所示的频率分布直方图(每组数据用该组区间的中点值为代表):(1)若不考虑其他因素,设A品种黄豆明年的收入为元,求的分布列;;(2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当,不考虑其他因素,若明年A品种黄豆的收入不低于520元,则后年可大面积推广种植A品种黄豆.请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆,并说明理由.【答案】(1)分布列见解析(2)能,理由见解析【解析】【分析】(1)结合频率分布直方图求得产量与市场售价对应的概率,再由题意得到的可能取值,进而求得对应的值的概率,从而得解;(2)利用数学期望公式预测明年A品种黄豆收入的均值,从而得解.【小问1详解】依题意可知产量为190千克的概率为,产量为210千克的概率为,市场售价是2.5元/千克的概率为,售价是2.7元/千克的概率为,所以的所有可能取值为475,513,525,567,所以,,则的分布列为:4755135255670.160.240.240.36【小问2详解】由(1)可得预计明年A品种黄豆收入的均值为因为,所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.21.已知点和直线,动点

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