2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.AxZ∣x22x301.已知集合,则集合A的子集个数为()A.3B.4C.8D.162.设1iz21i,则z()2A.B.1C.2D.223.十九世纪下半叶集合论的创立,奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产12物,具有典型的分形特征,其操作过程如下:将闭区间0,1均分为三段,去掉中间的区间段,,记3312为第一次操作;再将剩下的两个区间0,,,1分别均分为三段,并各自去掉中间的区间段,记为第二33次操作;…,如此这样,每次在上一次操作的基础上,将剩下的各个区间分别均分为三段,同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去,以至无穷,剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间9长度之和不小于,则需要操作的次数n的最小值为(参考数据:lg20.3010,lg30.4771)()10A.6B.8C.10D.124.命题“xR,x22x30”的否定是()A.xR,x22x30B.xR,x22x30C.xR,x22x30D.xR,x22x305.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为()A.26B.28C.30D.32第1页/共5页学科网(北京)股份有限公司π12π6.已知sinx,则cos2x()6337227A.B.C.D.99997.已知函数fx及其导数fx的定义域均为R,fx在R上单调递增,f1x为奇函数,若2a3,4b5,3c4,则()A.fafbfcB.fbfafcfbfcfafcfbfaC.D.8.若对任意实数x0,y0,不等式xxya(xy)恒成立,则实数a的最小值为()2121A.B.21C.21D.22二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知kZ,则函数fxxk2x2x的图象可能是()A.B.C.D.2ππ10.已知函数f(x)cosx(0)在π,上单调,且f(x)的图象关于点,0对称,则323()A.f(x)的最小正周期为4π210B.ff994πC.将f(x)的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数3第2页/共5页学科网(北京)股份有限公司D.函数y5f(x)4在[0,]上有且仅有一个零点11.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点M,N分别为棱B1C1,CD上的动点(包含端点),则下列说法正确的是()A.当M为棱B1C1的中点时,则在棱CD上存在点N使得MNACB.当M,N分别为棱B1C1,CD的中点时,则在正方体中存在棱与平面A1MN平行C.当M,N分别为棱B1C1,CD的中点时,过A1,M,N三点作正方体的截面,则截面为五边形D.三棱锥D1A1MN的体积为定值x12.已知曲线fxe在点Px1,fx1处的切线和曲线gxlnx在点Qx2,gx2处的切线互相平行,则下列命题正确的有()A.x1x2有最大值是1B.fx1gx2有最小值是1221x1x21C.x1x2有最小值是D.若x10,则有最大值为eex1x2e第II卷(非选择题)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知P2,1是终边上的一点,则sin2_____________.14.在ABC中,AB2,AC4,P是ABC的外心,则APBC等于___________.15.已知两个等差数列2,6,10,…,210及2,8,14,…,212,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥PABC的四个顶点都在同一个球面上,且底面边长是3,侧棱PA与底面ABC所成的角为,二面角P-AB-C的平面角为.当该球的表面积最小时,tan____________.四、解答题:本题共6小题,第17小题10分,其余小题每题12分,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第3页/共5页学科网(北京)股份有限公司17.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;an(2)求数列n2的前n项和Tn.2cosBCcosBcosC18.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知.bcabac(1)求A;(2)D为BC边上一点,DABA,且BD3DC,求cosC.19.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,D1DD1C5,AB2BC2.(1)求证:ADD1C;DP(2)若点P的在线段BD上,且二面角PCDB的大小为,求1的值.14PB20.甲,乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满61局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p),且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停25止的概率为.9(1)求p的值;(2)设表示比赛停止时比赛的局数,求随机变量的分布列和数学期望E.x2y221.已知双曲线E:1a0,b0的左、右焦点分别为F15,0,F25,0,渐近线方程为a2b21yx.2(1)求E的方程;(2)直线l与E的左、右两支分别交于M,N两点(M,N在x轴的同侧),当F1M//F2N时,求四边形第4页/共5页学科网(北京)股份有限公司F1F2NM面积的最小值.22.已知函数fxasinxsinaxa0.(1)当a1,x0时,证明fx2x;(2)当a2时,讨论fx的单调性;(3)设x0,证明eax2eaxfx.第5页/共5页学科网(北京)股份有限公司
吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期第三次摸底考试 数学
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