天壹名校联盟2023-2024学年高三11月联考数学试题

2023-12-02 · U1 上传 · 16页 · 1.3 M

2024届高三11月质量检测试题数学试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则中元素的个数为()A.1 B.4 C.6 D.72.已知是虚数单位,则复数的虚部是()A. B. C. D.3.设a,b是空间两条不同直线,则“a与b无公共点”是“a与b是异面直线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.函数的图象大致为()A. B.C. D.5.已知向量,满足,且,则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.6.如图是一坐山峰的示意图,山峰大致呈圆锥形,峰底呈圆形,其半径为,峰底A到峰顶的距离为,B是山坡的中点.为了发展当地旅游业,现要建设一条从A到B的环山观光公路,当公路长度最短时,公路距山顶的最近距离为()A. B. C. D.7.已知函数满足,对任意实数x,y都有成立,则()A. B. C.2 D.18.已知,函数与的图象在上最多有两个公共点,则的取值范围为()A. B.C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若a,,则下列命题正确的是()A.若且,则 B.若,则C.若,则 D.若,则10.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系(为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在14℃的保鲜时间是48小时,则下列说法正确的是()参考数据:,A.B.若该食品储藏温度是21℃,则它的保鲜时间是16小时C.D.若该食品保鲜时间超过96小时,则它的储藏温度不高于7℃11.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:,,则()A. B.当n为奇数时,C.数列为等比数列 D.数列的前n项和小于12.已知正方体的棱长为2,P是正方体表面上一动点,且,记点P形成的轨迹为,则下列结论正确的是()A.,, B.,,C.的长度是8 D.的长度是三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等差数列的前n项和为,若,,则______.14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.15.已知关于x的不等式恰有一个整数解,则实数a的取值范围是______.16.已知函数则方程的解的个数是______.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知函数和在处有相同的导数.(1)求;(2)设是的极大值点,是的极小值点,求的值.18.(本小题满分12分)如图,在斜四棱柱中,底面正方形的中心是O,且平面.(1)证明:平面平面;(2)若该四棱柱的所有棱长均为1,求二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)为了加快实现我国高水平科技自立自强,某科技公司逐年加大高科技研发投入.下图1是该公司2013年至2022年的年份代码x和年研发投入y(单位:亿元)的散点图,其中年份代码1∼10分别对应年份2013∼2022.图1图2根据散点图,分别用模型①,②作为年研发投入y(单位:亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型,并进行残差分析,得到图2所示的残差图.结合数据,计算得到如下表所示的一些统计量的值:752.2582.54.512028.35表中,.(1)根据残差图,判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入y(单位:亿元)关于年份代码x的经验回归方程模型?并说明理由;(2)(i)根据(1)中所选模型,求出y关于x的经验回归方程;(ii)设该科技公司的年利润(单位:亿元)和年研发投入y(单位:亿元)满足(且),问该科技公司哪一年的年利润最大?附:对于一组数据,,…,,其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.20.(本小题满分12分)在数列中,已知,,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,求的值;(3)若数列满足,求证:.21.(本小题满分12分)在中,为边上的高,已知.(1)若,求的值;(2)若,,求的最小值及取最小值时k的值.22.(本小题满分12分)已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)讨论函数的零点个数.2024届高三11月质量检测•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C【解析】因为,,所以,有6个元素,故选C.2.【答案】A【解析】,所以复数的虚部为,故选A.3.【答案】B【解析】当a与b无公共点时,a与b可能平行或异面,反之,当a与b是异面直线时,a与b无公共点,故选B.4.【答案】B【解析】因为函数的定义域为,又,函数为偶函数.故选B.5.【答案】A【解析】由,得.又,所以,所以向量在向量上的投影向量为,故选A.6.【答案】D【解析】以为分界线,将圆锥的侧面展开,可得其展开图如图.则从点A到点B的最短路径为线段,,.过S作,则公路距山顶的最近距离为,因为,所以,故选D.7.【答案】D【解析】因为且,令,得,则,所以,即,所以,所以,故函数是周期为6的周期函数.令,,得,则;令,,得,则.由,得,,,,所以,又,故由函数的周期性知,,故选D.8.【答案】C【解析】设.因为在上最多有两个零点,故,所以.由得.(1)由得;(2)由得;(3)由得;(4)由得;(5)由得此时不等式组无实数解.综上可得,故选C.9.【答案】BD【解析】对选项A,取,,满足且,则,错误;对选项B,因为函数单调递增,当时,,正确;对选项C,,要使,即,即,错误;对选项D,因为函数单调递增,当,则,正确.故选BD.10.【答案】ACD【解析】在函数中,当时,,由,知,,故A正确;当时,,所以,则,当时,,故B不正确;由,得,故C正确;由,得,所以,故D正确.故选ACD.11.【答案】ACD【解析】对于A,因为,,,所以,故A正确;对于B,由于,故B错误;对于C,因为小于的所有正奇数与均互质,且小于的所有正奇数有个,所以,因此数列为等比数列,故C正确;对于D,同理,所以,令,则,故D正确,故选ACD.12.【答案】ACD【解析】是正方体的棱的中垂面与四个侧面的交线,它是一个边长为2的正方形,它的周长是8,且,,,所以A,C正确;在正方体两侧面、和上底面都是一段圆弧,它与其它三个面无公共点.将正方体两侧面和沿展开为平面图,建立平面直角坐标系如图,设动点,因为,所以,化简得,故动点P在两侧面内轨迹是以为圆心,以为半径的圆弧,因为,所以,所以,所以在两侧面内点轨迹长度为.在上底面内,动点P轨迹为以为圆心的一段圆弧,如上图,由,可知,故,又,所以,即圆弧所在圆的半径为,所以圆弧的长为,所以动点P形成的轨迹的长度为,且不存在这样的点P,Q,使,所以D正确,B错误.故选ACD.13.【答案】0【解析】设数列的公差为d,由已知有,,所以,,所以.14.【答案】或或(答案不唯一)【解析】由题设知,圆的圆心为,半径为,圆的圆心为,半径为,所以,即两圆外离,故共有4条公切线.又M,N关于原点对称,且两圆半径相等,则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线.设过原点的公切线为,则,可得或,所以公切线为或;设与平行的公切线为,且M,N与公切线距离都为1,则,即,所以公切线为.15.【答案】【解析】设函数,,则过定点,在同一个坐标系中作出两个函数的图象.由题意得得,故所求实数a的取值范围是.16.【答案】4【解析】依题意可得,,当时,由得;当时,由得;当时,由得;当时,由得.综上可得,方程有4个实数根.17.【解析】(1)由题设知,.因为,所以,即.又,,故,得.……5分(2)由题意得,,,.于是,所以,,故的值是.……10分18.【解析】(1)连接交于,连接.在平行四边形中,由于,分别是、的中点,所以.因为平面,平面平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.(2)法一:由于平面,所以,.又,故可以直线,,分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图.由于斜四棱柱的棱长均为1,所以,,,.所以,.……8分设是平面的一个法向量,由得令得.又由(1)知,,,所以平面.即是平面的一个法向量.……10分设二面角的平面角为,由图可知,.所以.故所求二面角的余弦值为.……12分法二:由(1)知,,又,所以平面.过点作于点,连接,则.所以是二面角的平面角.……9分因为该四棱柱的棱长为1,所以.在中,,,所以.在中,,则.故所求二面角的余弦值为.……12分19.【解析】(1)根据图2可知,模型①的残差波动性很大,说明拟合关系较差;模型②的残差波动性很小,基本分布在0的附近,说明拟合关系很好,所以选择模型②更适宜.……3分(2)(i)设,所以,所以,,所以关于的经验回归方程为.……8分(ii)由题设可得,当,即时,年利润L有最大值,故该公司2028年的年利润最大.……12分20.【解析】(1)由可得,因为,所以,从而是以1为首项,1为公比的等比数列,所以,.……4分(2)因为,所以.……8分(3)因为.所以.即.……12分21.【解析】设a,b,c分别为角A,B,C所对的边,,则.(1)在中,由余弦定理得.由,得,所以.因为,所以,于是,而.……6分(2)法一:由(1)知,.如图,在中,过B作的垂线,且使,则,则,即,所以.于是,即.……10分令函数,,则在上单调递增,所以,此时.故所求的最小值为,此时k的值为.……12分法二:由,得,即,化简得,即,因为,,所以,于是.……10分以下同解法一……12分22.【解析】(1)由题意可知对恒成立.当时,显然成立;当时,;当时,.令,则,所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递增,故当时,;当时,.综上,实数的取值范围是.……5分(2)法一:由(1)可知,当时,有一个零点;当时,在上单调递增,当x趋于0时,趋于负无穷大,且,故只有一个零点.……7分当时,.令,则,在上单调递减,在上单调递增..当x趋于0时,因为趋于0,所以趋于正无穷大.又,所以存在,使得.所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,且当时,,,所以当时,在只有一个零点.……9分当时,在上单调递减,,且x趋于正无穷大时,.所以存在,使得,所以在上单调递增,在上单调递减,又当x趋于0时,趋于负无穷大,.所以当时,,当时,.故当时,无论k为何值,取,总能有.所以当时,有两个零点.……11分综上所述,当时,有两个零点;当时,有一个零点.……12分法二:,故当时,.令,则,所以在上单调递减,在上也单调递减,且当x大于0且趋于0时,趋于正无穷大,当x小于e且趋于e时,趋于负无穷大,当x大于e且趋于e时,趋于正无穷大,当x趋于正无穷大时,趋于0,其大致图象如图.由图可知,当时,有两个零点;当时,有一个零点.……12分

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