福建省百校联考2023-2024学年高三上学期期中考试 数学

保密★启用前准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）2023~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学试题2023.11一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．图中的阴影部分表示的集合为（）．．．ðAABCBABUC．ð．ðCAUBCDUABC．若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（）．2Z1Z2Z1Z2Z1Z2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件23．函数fx1cosx的部分图象为（）．1exA．B．C．D．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（）．学科网（北京）股份有限公司A．3B．4C．631D．331aa5．已知数列a满足aann1，且a1，若a16a，则正整数k为（）．nnn12n12k8A．13B．12C．11D．106．如图，AB是圆O的一条直径，且AB4．C，D是圆O上的任意两点，CD2．点P在线段CD上，则PAPB的取值范围是（）．．．．．A1,2B3,2C3,4D1,05π4ππ7．已知直线x，x是函数fx4sinx0图像相邻的两条对称轴，将fx的图636π像向右平移个单位长度后，得到函数gx的图像．若gx在m,m上恰有三个不同的零点，则实数m6的取值范围为（）．7π11π7π13π5π13π5π11πA．,B．,C．,D．,12121212121212128．已知ae0.11，b1.11.1，c1.11，则（）．A．abcB．acbC．bacD．bca二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设正实数a，b满足ab2，则下列说法正确的是（）．b2A．的最小值为3B．ab的最大值为1abC．ab的最小值为2D．a2b2的最小值为2π10．函数fx2sinx,的部分图象如图中实线所示，图中圆C与fx的图象交于M，2N两点，且M在y轴上，则（）．学科网（北京）股份有限公司3πA．函数fx在,π上单调递增227B．圆的半径为32πC．函数fx的图象关于点,0成中心对称32021π2023πD．函数fx在,上单调递减1212．如图，在长方体，，，分别是棱，的中点，点11ABCDA1B1C1D1AD2AB2AA14EFADB1C1P在侧面内，且，则三棱锥外接球表面积的取值可能是（）．A1ADD1BPxBEyBFx,yRPBB1FA．10πB．20πC．12πD．44π．已知数列满足，，则下列说法正确的有（）．12ana11an12anlnan112a．3．22A5Ban1anan1a1a23n1n．若，则．nCn21Dlnai121ln24i1ai1i1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．π3πππ13．已知sin，且,，则sin______．63443π14．已知非零向量a，b满足b3,1，a,b，若aba，则向量a在向量b方向上的投影向3学科网（北京）股份有限公司量的坐标为______．aaa．已知数列满足12Ln，2，若数列为单调递增数15annnNbnan1n4nbn2222n列，则的取值范围为______．16．法国的拿破仑提出过一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点．”在ABC中，A60，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为，，，则；若的面积为，则O1O2O3O1AO3______O1O2O33三角形中ABAC的最大值为______．四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ππ17．已知函数fx3sin2xcos2x，将fx的图象向左平移个单位长度，所23得函数的图象关于y轴对称．（1）求函数fx的解析式；π5（2）若关于x的方程fxa在,π上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．61218．已知函数fxlnxax1aR．（1）讨论函数fx的单调性；（2）若a2，是否存在整数mmN，都有fxmx1恒成立，若存在求出实数m的最小值，若不存在说明理由．n119．设数列a前n项和S满足Sa，nN．nnnnn2n1（1）证明：数列S为等比数列；nn111b（）记，求数列n的前项和．2SnnTnbnn1bn1bn1120．如图，在四棱锥PABCD中，PAD为等边三角形，M为PA的中点，PDAB，平面PAD平面ABCD．学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面CDM平面PAB；334（2）若AD//BC，AD2BC4，AB2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为，求三棱锥34PMCD的体积．21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数yAsinxA0,0,0,π，x4,0的图像，图像的最高点为B1,2．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD//EF，游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．22．已知函数fxxsinxcosx．（1）求fx在xπ,π的单调区间与最值；11（2）当a时，若gxfxax2，证明：gx有且仅有两个零点．32学科网（北京）股份有限公司