秘密★启用前2023-2024学年上学期三校联合考试(高2024届)数学试题卷(共4页,满分150分.考试时间120分钟.)命题:白凤莉审题:李松田注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义即可求得答案.【详解】因为,,所以.故选:D.2.已知命题:,,那么是()A., B.,C., D.,【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定,直接判断得出答案.【详解】解:已知命题:,,则为:,.故选:B.3.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.【详解】因为,所以把函数图象上所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.故选:D.4.=()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式可得,结合二倍角的余弦公式计算即可求解.【详解】由题意知,,所以.故选:D.5.已知为了破解某密码,在最坏的情况下,需要进行2512次运算.现在有一台计算机,每秒能进行2.5×1014次运算,那么在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg2≈0.3,≈1.58)()A.3.16×10139秒 B.1.58×10139秒C.1.58×10140秒 D.3.16×10140秒【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则,结合题目条件,列出方程求解即可.【详解】设在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间为秒,则,所以,,所以.故选:B6.在中,,,则角的最大值为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设,则,利用基本不等式求出的最小值,结合角的取值范围可求得角的最大值.【详解】设,则,由余弦定理可得,当且仅当时,等号成立,因为,则.故选:A.7.对于函数,有下列结论:①最小正周期为;②最大值为2;③减区间为;④对称中心为.则上述结论正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】将化简后即可判断其周期,最大值,减区间和对称中心.【详解】解:.,①正确;时,②错误;令,解得,因此减区间为,③正确;令,解得,此时,故对称中心为,故④错误.所以,上述结论正确的个数是2个.故选:B.8.已知函数,则不等式的解集为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对不等式作等价变形,构造函数并探讨函数的性质,利用性质解不等式作答.【详解】函数,则,因,则不等式成立必有,即,令,求导得,当时,,当时,,因此,函数在上单调递减,在上单调递增,又,当时,,于是得,即,令,当时,,函数在上单调递减,,,因此,无解,当时,,于是得,即,此时,函数在上单调递增,,,不等式解集为,所以不等式的解集为.故选:B【点睛】思路点睛:求某些函数不等式解集,将不等式等价转化,利用同构思想,构造新函数,借助函数的单调性分析求解.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知,且,则下列结论中正确的是()A有最大值 B.有最小值3 C.有最小值 D.有最大值4【答案】BD【解析】【分析】对于A,直接由基本不等式求得,即可判断A;对于B,将代入中,结合二次函数性质即可判断;对于C,将变形为,展开后,利用基本不等式即可判断;对于D,构造函数,利用导数求得最大值,即可判断.【详解】对于A选项,因为,且,所以由可得,当且仅当时等号成立,.故A错误;对于B选项,由,当且仅当时等号成立,故B正确;对于C选项,因为所以,当且仅当即时等号成立,故C错误对于D选项,因为,令,解得或(舍),令,解得,令,解得,故,此时,故D正确故选:BD10.已知正八边形ABCDEFGH,其中,则()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】建立平面直角坐标系,借助平面向量的坐标运算,对各项逐一判断,即可得到本题答案.【详解】分别以,所在的直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角坐标系,易知作,垂足为,则.因为,所以,所以,同理可得其余各点坐标,,,故A正确;,故B正确;,,,所以,故C正确;,,,,故D不正确.故选:ABC11.已知定义在上的偶函数,满足,则下列结论正确的是()A.的图象关于对称B.C.若函数在区间上单调递增,则在区间上单调递增D.若函数在区间上的解析式为,则在区间上的解析式为【答案】BC【解析】【分析】利用函数的对称性可判断A选项;利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项;利用函数周期性可判断C选项;设,利用【详解】对于A选项,因为,则函数的图象关于点对称,A错;对于B选项,因为且函数为偶函数,所以,可得,所以,,所以,对任意的,,B对;对于C选项,因为,若函数在区间上单调递增,则在区间上单调递增,C对;对于D选项,当时,,,所以,,D错.故选:BC.12.已知函数及其导函数满足,且,则()A.在上单调递增 B.在上有极小值C.的最小值为-1 D.的最小值为0【答案】ABD【解析】【分析】构造函数,利用导数运算公式求出函数的解析式,由此可得函数的解析式,再由导数与函数的单调性,极值及最值的关系判断各选项.详解】设,则,所以(C为常数),所以,又,所以,所以,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以在处取得极小值,因为,所以,所以在上有极小值可知A,B都正确.,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以的极小值即最小值为,故C错误.,当时,,,所以,当时,,,所以,而当时,,所以的最小值为0,故D正确.故选:ABD.【点睛】本题解决的关键在于通过构造函数,利用所给条件求出函数函数解析式.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设则是成立的___________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.【详解】解析当时,,显然不一定成立;反之,,则必然成立.故答案为:必要不充分14.在边长为的等边中,已知,点在线段上,且,则________.【答案】【解析】【分析】根据题意得,求出,所以,即,求解即可.【详解】因为,所以,又,即,因为点在线段上,所以,,三点共线,由平面向量三点共线定理得,,即,所以,又是边长为的等边三角形,所以,故.故答案为:.15.函数点处的切线方程为___________.【答案】【解析】【分析】求出切点坐标,利用导数求出切线的斜率即得解.【详解】解:,所以切点为,,,所以切线的斜率为.故该切线方程为,即.故答案为:16.已知函数,则不等式的解集是______.【答案】,【解析】【分析】先构造函数,得到关于对称,且单调递增,再结合对称性与单调性将不等式转化为即可求解.【详解】构造函数,那么是单调递增函数,且向左移动一个单位得到,的定义域为,且,所以为奇函数,图象关于原点对称,所以图象关于对称.不等式等价于,等价于结合单调递增可知,所以不等式的解集是,.故答案为:,.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数图像上相邻两条对称轴的距离是,的最大值与最小值之差为1,且的图像的一个对称中心是.(1)求函数的解析式;(2)若方程在区间上有解,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意可得的周期、振幅,再根据正弦函数的对称点公式求解即可;(2)根据正弦函数的单调性与值域求解即可.【小问1详解】因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为,所以.又,故,.因为的最大值与最小值之差为1,故,,又由的图像的一个对称中心是,故,则,又,故当时,,故.【小问2详解】,,,,若方程在区间上有解,则,故实数m的取值范围是18.已知函数的图象关于原点对称.(1)求a的值;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据奇函数列出方程求解即可;(2)等价转换,分离变量,构造新函数,利用导数研究函数单调性,从而确定实数的取值范围.【小问1详解】因为函数的图象关于原点对称,所以函数为奇函数,即有,所以,则,即,解得,当时,,不满足题意,当时,,函数定义域为,且,满足题意,综上,可得的值为;【小问2详解】由,得恒成立,即当,恒成立,令,则显然在恒成立,所以在上单调递减,则的最大值为,所以,即实数的取值范围为.19.如图,在四边形中,(1)求角的值;(2)若,,求四边形的面积【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用诱导公式和二倍角公式化简得,再判断得,结合,即可求解得;(2)由余弦定理求解得,再由正弦定理以及,可得,从而解得,然后计算和面积的和即可.【小问1详解】,因为,得,或,解得或,因为,得,【小问2详解】在中,,在中,,,,,得,,所以四边形的面积为20.已知函数.(1)求的单调区间;(2)求过点的切线方程.【答案】(1)的单调递增区间是,单调递减区间是(2)y=2x+1【解析】【分析】(1)求出,令,求得增区间,令,求得减区间;(2)设出切点,利用导数的几何意义求出切线的斜率,建立方程求出,可得切线斜率,求出切线方程.【小问1详解】的定义域为,,所以的单调递增区间是:,单调递减区间是:.【小问2详解】由题意可得点不在曲线上,设切点为,因为,所以所求切线的斜率,又由斜率公式得,,因为切点在上,所以,所以,即,设,,在上单调递增,且,所以有唯一解,则所求切线的斜率,故所求切线方程为.21.在中,角,,所对的边分别为,,,.(1)求角的大小;(2)若是锐角三角形,且其面积为,求边的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据同角三角函数关系,结合正余弦函数和差角公式化简即可;(2)由(1)知,又是锐角三角形,可得,根据且其面积为可得,再设,根据角度关系化简可得,再根据求解即可.【小问1详解】因为,则,所以,即,得.所以或(不成立,舍去),从而,又,所以.【小问2详解】由(1)知,又是锐角三角形,则,得.因为,所以.设,因为,所以,因为,则,所以,从而,即,所以边的取值范围是.22.已知函数,.(1)讨论的单调性并求极值.(2)设函数(为的导函数),若函数在内有两个不同的零点,求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递减,在上单调递增,的极小值为,无极大值;(2).【解析】【分析】(1)求出,然后可得单调性和极值;(2),然后求出当时的单调性,要使函数在内有两个不同的零点,则有,解出,然后证明即可.【小问1详解】因为在上单调递增,所以当时,当时,所以在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,无极大值.【小问2详解】因为,所以,当时,,所以当或时,在上单调,至多只有一个零点,不满足题意,当时,由可得,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以要使函数在内有两个不同的零点,则有,由可得,下面证明当时,令,则,所以当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,所以当时,
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