精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题（原卷版）

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为（）A.3 B.2 C.－2 D.－33.已知，是关于x的方程的两个根.若，则（）A. B.1 C. D.24.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知的解集为，则的值为（）A1 B.2 C.-1 D.-26.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25 B.50.76 C.56.74 D.58.607.已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-38.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象C.函数单调递增区间为D.的最小正周期为10.如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若平面与平面的交线为，则AC//lC.三棱柱的外接球的表面积为D.当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为11.同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（）A.是函数为偶函数的充分不必要条件；B.是函数为奇函数的充要条件；C.如果，那么为单调函数；D.如果，那么函数存极值点.12.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）A.为递减数列 B.C.是数列中的最大项 D.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，若，则______.14.已知函数，则函数的零点个数为______.15.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为______.16.如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则______.（参考数据：取.）四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点.（1）证明：平面；（2）求点A到平面的距离.18.记锐角的内角的对边分别为，已知．（1）求证：；（2）若，求的最大值．19.甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．20.已知数列中，，.（1）令，求证：数列是等比数列；（2）令，当取得最大值时，求的值．21.已知双曲线的焦距为10，且经过点．A，B为双曲线E的左、右顶点，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．（1）求双曲线E的标准方程．（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．22.设函数.（1）求的最值；（2）令，图象上有一点列，若直线的斜率为，证明：.