黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023-2024学年高三上学期期中考试 数学

哈三中2023—2024学年度上学期高三学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I卷，第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I卷（选择题,共60分）一、选择题（共60分）(一)单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A0,1,2，Bxx2a,aA，则集合AB等于A．0B．0,1C．1,2D．0,22．若复数z满足(12i)z2i，则z的虚部为3434A．B．C．iD．i55553．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测画法下的直观图是一个底角为45的等腰梯形，已知直观图OAB'C'中，B'C'1,OC'2，则原平面图形的面积为2A．B．2C．22D．422高三数学第1页共6页{#{QQABKYIEggCAAAJAAAgCQwWCCkCQkBACCCoGRAAAMAABgANABAA=}#}4．如图，ABC和BDE都是边长为1的等边三角形，A,B,D三点共线，则ADAEA．1B．2C．3D．45．已知ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若sinC2sinBcosA，且abcbca2ab，那么ABC是A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．如图，在边长为4的正三角形ABC中，D,E,F分别为各边的中点，G,H分别为DE,AF的中点，将ABC沿DE,EF,DF折成正四面体PDEF，则在此正四面体中，异面直线PG与DH所成的角的余弦值为1231A．B．C．D．33427．在《九章算术商功》中将正四面形棱台体（棱台的上、下底面均为正方形）称为方亭．在方亭ABCDA1B1C1D1中，AB2A1B12，四个侧面均为全等的等腰梯形，侧面积为33，则该方亭的体积为7777A．B．C．2D．22626高三数学第2页共6页{#{QQABKYIEggCAAAJAAAgCQwWCCkCQkBACCCoGRAAAMAABgANABAA=}#}1x,x1,1x8．已知函数f(x)若总存在实数t，使得函数g(x)f(x)t有1x22xa2,x1,2三个零点，则实数a的取值范围为111A．a0B．a0或aC．a0或aD．a0222(二)多项选择题（共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列说法中不正确的是A．各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体B．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台C．任意两条直线都可以确定一个平面D．空间中三条直线a,b,c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面10．已知平面向量a1,x，b2x,3x，xR，则下列说法正确的是3A．若a∥b，则x或x121B．若aba，则x=539C．当x3时，向量b在向量a方向上的投影向量为,55D．若x0或x5，则a与b夹角为钝角11．已知函数fxAsin(x)（其中A0,0,π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是πA．fx为偶函数6ππB．fx在,上单调递增124πC．函数fx的图象关于点,0对称125D．若函数yfx0在0,π上没有零点，则0,12高三数学第3页共6页{#{QQABKYIEggCAAAJAAAgCQwWCCkCQkBACCCoGRAAAMAABgANABAA=}#}12．定义在R上的函数f(x),g(x)满足yg(x1)为偶函数，且f(x)g(1x)3,g(x)f(x3)1，g(1)1，则下列说法正确的是A．f(x)为偶函数B．g(x)图象关于点(1，0)对称33C．g(x)是以4为周期的周期函数D．f(i)33i1第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．已知向量a(1,1)，b(3,4)，则cosa,b．．函数2的定义域为．14y3log2(x2x)15．已知i为虚数单位，且z12i2，则z的最大值是．16．在ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c，点D在边BC上且AD为角A的角平分线，ADBD2，则边AC的取值范围是．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．如图，在ABC中，BD2DC，E是AD的中点，设AB=a，ACb.（1）试用a,b表示AD,BE；（2）若ab1，a与b的夹角为60，求ADBE．高三数学第4页共6页{#{QQABKYIEggCAAAJAAAgCQwWCCkCQkBACCCoGRAAAMAABgANABAA=}#}1sin2cos218．（1）已知tan，求的值；421cos21（2）已知cos，求sin2的值．636π19．设向量a3sinx,sinx，bcosx,sinx，x0,．2（1）若ab，求x的值；（2）设函数fxab，求fx的最大值．20．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足2bccosAacosC．（1）求角A；（2）若cb2，a7，求ABC的面积．高三数学第5页共6页{#{QQABKYIEggCAAAJAAAgCQwWCCkCQkBACCCoGRAAAMAABgANABAA=}#}21．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为2km，C,D两点在半圆弧上，且BCCD，设COB．（1）当时，求四边形ABCD的面积；6（2）若要在景区内铺设一条由线段AB,BC,CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．22．已知函数f(x)2exsin2x．（1）当x0时，求函数f(x)的最小值；（2）若对于x(,)，不等式4xexxcos2xax25x0恒成立，求实数a的12取值范围．（参考数据ln20.7,ln31.1）高三数学第6页共6页{#{QQABKYIEggCAAAJAAAgCQwWCCkCQkBACCCoGRAAAMAABgANABAA=}#}