精品解析：河北省邯郸市2024届高三上学期第一次调研监测数学试题（解析版）

邯郸市2024届高三年级第一次调研监测数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考场号､座位号､考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式（其中为锥体的底面积，为锥体的高）.棱台的体积公式（其中，分别为棱台的上､下底面面积，为棱台的高）.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求一元二次不等式得，再根据集合运算法则求解即可.【详解】，则.故选：C2.已知命题：，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】利用含有全称量词的命题的否定判断.【详解】因为命题，所以.故选：B.3.已知是虚数单位，若复数满足：，则（）A.0 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，即可求解.【详解】由复数，可得，则，所以.故选：A.4.设函数在处的切线与直线平行，则（）A. B.2 C. D.1【答案】D【解析】【分析】由条件，根据导数的几何意义及两平行直线的斜率关系列方程求.【详解】函数的定义域为，由已知，故，函数的导函数，所以，因为函数在处的切线与直线平行，所以，所以，经验证，此时满足题意.故选：D.5.设，是双曲线的左､右焦点，过的直线交双曲线的左支于，两点，若直线为双曲线的一条渐近线，，则的值为（）A.11 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得,再由双曲线的定义可得，得到,再根据得到答案.【详解】根据双曲线的标准方程，得,由直线为双曲线的一条渐近线，得,解得,得.由双曲线的定义可得①，②，①②可得,因为过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于,两点,所以,得.故选：C.6.有一种钻头，由两段组成，前段是高为3cm､底面边长为2cm的正六棱锥，后段是高为1cm的圆柱，圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，则此钻头的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据棱锥和圆柱的体积公式即可得到答案.【详解】由题意，钻头的前段正六棱锥的体积，因为圆柱的底面圆与正六棱锥底面的正六边形内切，作出以下图形，所以圆柱的底面圆的半径，所以圆柱的体积，所以此钻头的体积为.故选：B.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分别求出，，再根据全概率公式求出，再根据条件概率公式即可得解.【详解】，，，.故选：A.8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（）A. B.C.为奇函数 D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，，结合时，，可判断AB；求出函数的周期，进而可判断CD.【详解】因为为奇函数，所以，即，则，所以，因为为偶函数，所以，即，则，故A错误；由当时，，得，则，故B错误；，则，所以，所以，故D正确；对于C，由，得，若为奇函数，则也为奇函数，令，则为奇函数，则，又，矛盾，所以不是奇函数，即不是奇函数，故C错误.故选：D.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.二､选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设，是两个非零向量，且，则下列结论中正确的是（）A. B.C.，的夹角为钝角 D.若实数使得成立，则为负数【答案】AD【解析】【分析】根据平面向量的模、线性运算的概念即可判断.【详解】对A，当不共线时，根据向量减法的三角形法则知，当反向共线时，，故，A正确；对B，若，则以为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，则，故B错误；对C，若的夹角范围为，根据向量加法的平行四边形法则知：，故C错误；对D，若存在实数，使得成立，则共线，由于，则反向共线，所以为负数，故D正确.故选：AD.10.记为数列的前项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（）A.数列为递减数列 B.C. D.数列是等差数列【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项即可判断B；根据求出数列的通项，即可判断C；由的符号即可判断A；根据等差数列的定义即可判断D.【详解】由题意，所以，故B正确；当时，，当时，，当时，上式也成立，所以，故C正确；因为，所以数列为递增数列，故A错误；，因为，，所以数列不是等差数列，故D错误.故选：BC.11.已知函数的图象过点，最小正周期为，则（）A.在上单调递减B.的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数C.函数在上有且仅有4个零点D.函数在区间上有最小值无最大值【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，求出与，再逐项分析求解，判断作答.【详解】依题意，，即，而，则.由最小正周期为，得，得，则，对于A，由，得，则在上不单调，A不正确；对于B，的图象向右平移个单位长度后得函数，是偶函数，B正确；对于C，当时，，则，则，可得在上有且仅有4个零点，C正确；对于D，当时，，当，解得时，取得最小值，无最大值，D正确.故选：BCD.12.已知棱长为2的正方体，，，分别是，，的中点，连接，，，记，，所在的平面为，则（）A.截正方体所得截面为五边形 B.C.点到平面的距离为 D.截正方体所得的截面面积为【答案】BCD【解析】【分析】根据平面的性质先做出截面可判定A、D，再利用线线垂直可判定线面垂直得B项正误，由正六棱锥的体积判定C.【详解】如上左图所示取中点分别为，连接，易知，，即六边形为正六边形，平面即过，，三点的平面，故A错误；由正方体的棱长为2，可得截面的面积为，故D正确；如上右图所示，连接，由正方体的性质可得面，面，所以又面，所以面，面，所以，而，所以，同理可得，，故，即B正确；分别连接与截面的六个顶点可得两个正六棱锥，设点到平面的距离为，易知，故C正确.故选：BCD.三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.的展开式的常数项是___________.【答案】70【解析】【分析】利用通项公式求解，的展开式中常数项由的展开式的4次方项确定，求解即可.【详解】的展开式的通项公式为，当时，，所以的展开式的常数项为.故答案：70.14.写出函数的一个对称中心：___________.【答案】【解析】【分析】首先化简函数得,再根据正切函数的对称中心公式求解.【详解】，令或，则或，令，则，所以函数的一个对称中心是.故答案：(答案不唯一，横坐标符合()即可)15.在平面直角坐标系中，已知抛物线：.若等腰直角三角形三个顶点均在上且直角顶点与抛物线顶点重合，则的面积为___________.【答案】【解析】【分析】根据等腰直角三角形与二次函数的性质，建立不等式，可得答案.【详解】由题意可作图如下：设，其中，则直线与直线的斜率分别为，，由，则，由，则，将，代入，可得，将，代入，可得，将代入，可得，解得，则，，.故答案为：.16.过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，___________.【答案】##【解析】【分析】易得，从而可得，求出取得最小值时，的值即可.【详解】由题意可得，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，当取最小值时，则取得最小值，，此时，又为锐角，所以，所以，即当取最小值时，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：由圆的切线的性质将所求转化为求的最小值是解决本题的关键.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知等比数列的前项和为，，且满足，.（1）求的通项公式；（2）设，的前项和为，求使成立的的最大值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）求首项、公比，从而求得；（2）利用错位相减求和法求得，解不等式【小问1详解】设等比数列的公比为，依题意，，则.，则，得，所以，所以，所以，所以.【小问2详解】由（1）得，得，得，两式相减得，所以.由，得，当时，左边，当时，，所以的最大值为5.18.暑假期间，儿童溺水现象屡有发生，防溺水工作十分重要.现从某社区随机抽取100名居民，对他们的防溺水认识程度进行了测评，经统计，这100名居民的测评成绩全部在40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计这100名居民成绩的中位数（保留一位小数）；（2）在这100名居民中用分层随机抽样方法从成绩在，，的三组中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据在频率分布直方图中中位数的求法计算即可；（2）写出随机变量的所有取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可.【小问1详解】因为，，所以中位数在区间内，设为，则，解得，即估计这100名居民成绩的中位数为；【小问2详解】成绩在有人，成绩在有人，成绩在有人，则可取，，，，，所以分布列为所以.19.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，化简整理可求得，平方进而求得；（2）利用余弦定理表示出，根据三角形面积公式和基本不等式求得最值.【小问1详解】因为，由正弦定理，得，因为，所以，所以，得，即.【小问2详解】由（1）知，，所以，可得，与联立，有，解得，得，由余弦定理得，，所以，得，当且仅当时等号成立，即，得，得最大值为.20.如图，几何体由四棱锥和三棱台组合而成，四边形为梯形，且，，，平面，，平面与平面的夹角为45°.（1）求证：平面平面；（2）求三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质和平行的性质得，再利用面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，设，求出相关平面法向量，利用面面角的空间向量求法得到方程，解出，再利用棱台体积公式即可得到答案.【小问1详解】因为平面平面，所以，因为，所以，由，平面，得平面，由平面，得平面平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，又因为，所以两两互相垂直，所以以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.设，由题可知，，易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，，故得，即，不妨令，则，解得，所以三棱台的体积为.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：不等式有实数解.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可；（2）要证不等式有实数解，只需证明即可，由（1）求出，进而得证.【小问1详解】，当时，，则函数在上单调递减，当时，时，，时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】要证不等式有实数解，只需证明即可，由（1）得，则只要证明即可，即证，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以当时，不等式有实数解.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等