2023福州市高三一模数学答案

2023－2024学年第一学期福州市高中毕业班开门考数学试题（完卷时间：120分钟；满分:150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1到2页，第Ⅱ卷3至4页．注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将答题卡交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11.已知复数z满足1i，则在复平面内，z对应的点在zA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．【答案】A．111i【解析】由1i得z，应选A．z1i22.已知集合Axx2＜1，Bxx＞0，则ABA．0，1B．0，C．1，D．，【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性．【答案】C．【解析】Ax1＜x＜1，Bxx＞0，故AB(1,)，应选C．已知点，在抛物线2上，则到的准线的距离为3.Px02C:y4xPCA．4B．3C．2D．11{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性．【答案】C．【解析】抛物线2的准线为，由得，故到准线的距离为，y4xx1PCx01P2应选C．4.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气的不同情况的种数是A．90B．180C．270D．360【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和应用性．【答案】B．【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况有：12种；春夏的不同情况有：21种，所以小明选取节气的不同情C6C69021C6C690况有：9090180种．应选B．5.一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为75A．cmB．25cmC．50cmD．75cm4【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性．【答案】D．h【解析】设正四棱台的高，即深度为hcm，依题意，得1900006024026040，3解得h75，应选D．6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为2{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}1123A．B．C．D．3234【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．【答案】C．【解析】解法一：记第次摸到红球为事件，摸到黄球为事件（，），则iAiBii1212111PBPAPBAPBPBB，212112123232221P(AB)，故122．应选．PA1B2PA1PB2A1P(A1B2)C433P(B2)3解法二：记第次摸到红球为事件，摸到黄球为事件（，）．由抽签的公平iAiBii1221P(AB)性可知，又221，所以122．应选．PB2PA1B2P(A1B2)C42433P(B2)317.已知a，bln2，cln55，则eA．a＞b＞cB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．c＞a＞b【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】A．1lneln2ln4ln5lnx【解答】解法一：a，bln2，cln55，令fx，ee245x1lnxfx，当x≥e时，fx≤0，故fx在区间e，上单调递减，所以a＞b＞c．x2解法二：因为210251032＞102555，所以ln2＞ln55，即b＞c．在同一坐标系中作出函数fx2x，gxx2的图象，如图所示，由图可知，fe＜ge，即2e＜e2，所以e21111122e＜e2e，即22＜ee，所以ln2＜lne，即b＜a．2eelnx1lnx（令fx，fx，当0xe时，fx0，故fx在区间0，e上xx21lneln2单调递增，所以aln2b．）ee23{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}综上，a＞b＞c．应选A．8.若定义在R上的函数fxsinxcosx（＞0）的图象在区间0，上恰有5条对称轴，则的取值范围为1721172517253341A．，B．，C．，D．，44444444【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．【答案】A．π【解析】由已知，fx2sinx，4π(4k1)π令x=kπ，kZ，得x，kZ，424(4k1)π依题意知，有5个整数k满足0≤≤π，即0≤4k1≤4，所以k0，1，417212，3，4，则441≤4＜451，故≤＜，应选A．44二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以下关于这组数据判断正确的有A．极差为13B．中位数为82C．平均数为79D．方差为124【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性．【答案】AC．10.已知圆M:x2y21，直线l:ykx31，则3A．l恒过定点3，1B．若l平分圆周M，则k3C．当k3时，l与圆M相切D．当3＜k＜3时，l与圆M相交【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和综合性．【答案】BC．【解析】依题意，l恒过定点3，1，选项A错误；4{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}3若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心0，0，代入直线方程得k，选项B正确；33k1圆心O0，0到l的距离d，当k3时，d1r，l与圆M相切，选项Ck212正确；若l与圆M相交，则d＜1，即3k1＜k21，即0＜k＜3，故选项D错误．综上，应选BC．11.已知函数fxx33ax2有两个极值点．则A．fx的图象关于点0，2对称B．fx的极值之和为4C．aR，使得fx有三个零点D．当0＜a＜1时，f(x)只有一个零点【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】ACD．【解答】fx的图象可由奇函数gxx33ax的图象向上平移2个单位长度得到，故fx的图象关于点0，2对称，选项A正确．设的极值点分别为，（＜），则由对称性可知，故fxx1x2x1x2x1x20，即的极值之和为，选项错误．fx1fx2224fx4B依题意，方程2有两异根，则＞，，，在区间fx3x3a0a0x1ax2afx，上单调递增，在区间，上单调递减，在区间，单调递增．由图象aaaa可知，当＞＞时，的图象与轴有个交点，即有个零点，选项fx10fx2fxx3fx3C正确．当0＜a＜1时，faaa3aa221aa＞0，此时fx只有一个零点，选项D正确．综上，应选ACD．已知正四棱柱的底面边长为，球与正四棱柱的上、下底面及侧棱12.ABCDA1B1C1D12O都相切．为平面上一点，且直线与球相切，则PCDD1BPO．球的表面积为．直线与夹角等于AO4πBBD1BP45．该正四棱柱的侧面积为．侧面与球面的交线长为C162DABB1A12π【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性．【答案】BCD．5{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}【解答】如图，设球与下底面相切于点，则平面，连接，则OO1OO1ABCDO1AOAO1为直线OA与平面ABCD所成的角．因为球O与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径，所以，四棱柱的侧面积为，故选项ROO1O1A2S表4π28π2422162A错误，C正确．依题意，，均为球的切线，经过球心，所以，又BB1BPOBD1OB1BD1PBD1，所以，选项正确．B1D122BB1PBD1B1BD145B对于选项，棱的中点，即球与棱的切点应为DAA1FOAA1交线上的点，故交线应为过F的圆．截面圆的圆心即为矩形1ABBA的中心E，在Rt△OEF中，OFR2，OEBC1，112所以截面圆半径rEF211，周长为2π，该选项正确．综上，应选BCD．第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a1，2，b1，2，若ab，则实数的值为．【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识