2023年高考全国甲卷数学(理)真题（试卷）

2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学一、选择题∣∣ð(AB)1.设集合A{xx3k1,kZ},B{xx3k2,kZ}，U为整数集，U（）A.{x|x3k,kZ}B.{x∣x3k1,kZ}C.{x∣x3k2,kZ}D.2.若复数ai1ai2,aR，则a（）A.-1B.0·C.1D.23.执行下面的程序框遇，输出的B（）A.21B.34C.55D.894.向量ab1,c2，且abc0，则cosac,bc（）1224A.B.C.D.55555.已知正项等比数列an中，a11,Sn为an前n项和，S55S34，则S4（）A.7B.9C.15D.306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（）A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1第1页/共5页学科网（北京）股份有限公司7.“sin2sin21”是“sincos0”的（）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件也不是必要条件x2y28.已知双曲线1(a0,b0)的离心率为5，其中一条渐近线与圆(x2)2(y3)21交于A，a2b2B两点，则|AB|（）152545AB.C.D..55559.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A.120B.60C.40D.30ππ1110.已知fx为函数ycos2x向左平移个单位所得函数，则yfx与yx的交点个6622数为（）A.1B.2C.3D.411.在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，AB4,PCPD3,PCA45，则PBC的面积为（）A.22B.32C.42D.52x2y2312.己知椭圆1，F1,F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosF1PF2，则|PO|965（）230335A.B.C.D.5252二、填空题2π13.若y(x1)axsinx为偶函数，则a________．22x3y314.设x，y满足约束条件3x2y3，设z3x2y，则z的最大值为____________．xy115.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条第2页/共5页学科网（北京）股份有限公司棱的交点总数为____________．16.在ABC中，AB2，BAC60,BC6，D为BC上一点，AD为BAC的平分线，则AD_________．三、解答题17.已知数列an中，a21，设Sn为an前n项和，2Snnan．（1）求an的通项公式；a1（2）求数列n的前n项和T．2nn-18.在三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，A1C底面ABC，ACB90，A1到平面BCC1B1的距离为1．（1）求证：ACA1C；（2）若直线AA1与BB1距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值．19.为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组（加药物）．（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）对照组：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3实验组：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：mm对照组第3页/共5页学科网（北京）股份有限公司实验组（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．参考数据：k00.100.050.0102Pkk02.7063.8416.63520.已知直线x2y10与抛物线C:y22px(p0)交于A,B两点，且|AB|415．（1）求p；（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，MFNF0，求MNF面积的最小值．sinxπ21.已知f(x)ax,x0,cos3x2（1）若a8，讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)sin2x恒成立，求a的取值范围．四、选做题x2tcos22.已知P(2,1)，直线l:（t为参数），为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两y1tsin点，|PA||PB|4．（1）求的值；（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．23.已知f(x)2xaa,a0．（1）求不等式fxx的解集；（2）若曲线yfx与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a．第4页/共5页学科网（北京）股份有限公司